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四谷大塚・早稲田アカデミー4・5年生 予習シリーズ算数下 第3回・第4回攻略ポイント

<算数 5年下 第3回 >

第3回は『平面図形と比(1) 』です。高さの等しい三角形について、学習します。高さの等しい三角形とは、基本的に、ある三角形において、頂点を通り底辺まで引いた直線で2つの三角形に分けた形です。この場合、三角形の面積を求める公式から、分けられた2つの三角形の面積の比は、それぞれの三角形の底辺の長さの比と等しくなります。なおメルマガでは、分数は、分子/分母の形で表示します。

【攻略ポイント1】

「必修例題1」は、三角形アと台形イの面積の比を求める問題です。
 台形は対角線で2つの三角形に分けられることに注目します。平行線をもつ台形において、平行線の間では高さはどこでも等しいですから、台形の上底を底辺とする三角形と下底を底辺とする三角形は高さの等しい三角形となり、台形の面積はそれら2つの三角形の面積の合計として考えられます。予習シリーズ27ページの解き方の図を参考にしてください。
 三角形アの底辺は6cm、台形イは、三角形AECの底辺4cmと、三角形CDAの底辺5cmの合計として、底辺の長さの比を求めます。底辺の比は、三角形ア:台形イ(三角形AEC+三角形CDA)=6:(4+5)=2:3ですので、面積の比は、ア:イ=2:3です。なお、台形の面積公式から考えて、高さが等しい場合には、三角形の面積:台形の面積=底辺の長さ:(上底+下底)の長さ、としてもかまいません。

「必修例題2」は、三角形を面積の等しい4つの三角形に分けた図形において、部分的な辺の長さの比を求める問題です。同一直線上に底辺があり、同じ頂点をもつ(共有している)三角形は高さの等しい三角形であることに注目します。
  (1) 辺ADを底辺とする三角形ADFと、辺DBを底辺とする三角形DBF(同じ面積の三角形が2つ分)は、どちらも直線AB上に底辺があり、頂点Fを共有しているので、高さの等しい三角形です。三角形ADFと三角形DBFは、面積比が1:2ですから、底辺比=面積比から、AD:DB=1:2です。
  (2) 辺BEを底辺とする三角形DBEと、辺EFを底辺とする三角形DEFは高さが等しい三角形で、面積も等しいので、底辺BEとEFの長さの比は、1:1です。また、辺BFを底辺とする三角形ABFと、辺FCを底辺とする三角形AFCも高さが等しい三角形です。三角形BFAは同じ面積の三角形が3つ分、三角形FCAは同じ面積の三角形が1つ分ですので、面積の比は、三角形BFA:三角形FCA=3:1ですから、底辺BF:底辺FC=3:1です。よって、BE=EF=BF÷2=3÷2=1.5となりますので、BE:EF:FC=1.5:1.5:1=3:3:2です。

【攻略ポイント2】

「必修例題3」は、高さの異なる三角形の面積比を求める問題ですが、高さの等しい三角形を作図して考えます。予習シリーズ29ページの解き方の図を参考にしてください。
 三角形ABCの頂点Aと、もう1つの三角形ECDの頂点Dを直線で結んで、三角形ACDを作ります。三角形ABCと三角形ACDは高さが等しい三角形ですから、面積比は三角形ABC:三角形ACD=BC:CD=2:1です。そして、三角形ACDのうちの、三角形AEDと三角形ECDは、高さが等しい三角形で、面積比は三角形ACD:三角形ECD=AE:EC=2:3です。したがって、三角形ECDの面積は三角形ACDの面積の3/(2+3)=3/5となります。よって、三角形ABCと三角形ECDの面積比は、2:(1×3/5)=(2×5):(1×3)=10:3より、10:3です。
 なお、この(2×5)と(1×3)の数は、底辺にあたるBCとCDの比2:1と、高さの方向にあるACとECの比(2+3):3=5:3を、それぞれかけた数と考えられます。このように、辺の比のかけ合せから解くこともできます。この考え方を発展させたものが、予習シリーズ29ページ後半の説明ですので、よく読んで理解してください。そして、このことは次の必修例題4に使われます。

【攻略ポイント3】

「必修例題4」は、三角形の3つの辺をそれぞれ2つに分けた3つの点を頂点にもつ三角形ともとの三角形の面積の関係を考える問題です。

  1. 2つの点AとEを結んで、三角形ABCを、高さの等しい、三角形ABEと三角形AECに分けると、面積比は、底辺比BE:ECと等しく2:1になります。また、三角形ABEを、三角形ADEと三角形DBE(ア)に分けると、面積比は、底辺比AD:DBと等しく1:1です。三角形ABCの面積を1とすると、三角形ABEの面積は2/(2+1)=2/3となり、三角形DBE(ア)は、三角形ABE×1/(1+1)=2/3×1/(1+1)=2/3×1/2=1/3より、三角形アの面積は三角形ABCの面積の1/3です。別解として、予習シリーズ29ページ後半の説明にあるように、三角形ABCと三角形DBEとで、共有する頂点Bを含む2本の辺の、一方を底辺、もう一方を高さの方向にあると考えて、底辺比AB:DB=2:1、高さ比BC:BE=3:2を、それぞれかけて、(2×3):(1×2)=3:1が、三角形ABCと三角形DBEの面積比になります。ここから、三角形アの面積は三角形ABCの面積の1/3と計算できます。
  2. 別解の考え方で進めます。三角形ADFについては、AB:AD=2:1、AC:AF=5:2より、三角形ABC:三角形ADF=(2×5):(1×2)=5:1ですから、三角形ADFの面積は、三角形ABCの面積の1/5です。また、三角形CEFについては、CB:CE=3:1、CA:CF=5:3より、三角形ABC:三角形CEF=(3×5):(1×3)=5:1ですから、三角形CEFの面積は、三角形ABCの面積の1/5です。よって、1-(1/3+1/5+1/5)=4/15より、三角形DEF(イ)の面積は、三角形ABCの面積の4/15です。

「必修例題5」は、長方形の中に作った三角形の面積についての問題です。

  1. 三角形EBFと三角形DCFにおいて、底辺をそれぞれ辺BF、辺CFとすると、高さはそれぞれ辺EB、辺DCです。EB:DC=2:(1+2)=2:3で、底辺の比は、面積比÷高さ比で求められますから、(8÷2):(9÷3)=4:3より、BF:FCは、4:3です。
  2. 面積比は、底辺比×高さ比で求められます。底辺比AE:EB=1:2、高さ比AD:BF=(4+3):4=7:4ですので、(1×7):(2×4)=7:8より、三角形EADと三角形EBFの面積比は、7:8です。
  3. (2)より、三角形EADの面積は、8÷8×7=7平方cmです。また、長方形のたての長さABを1+2=3とし、横の長さを4+3=7として、三角形EBFの面積との比を考えると、(3×7):(2×4÷2)=21:4となります。よって、長方形の面積は、8÷4×21=42平方cmです。したがって、長方形の面積から、まわりの3つの三角形の面積を引いて、42-(7+8+9)=18より、三角形DEFの面積は18平方cmです。

今回は、かなり高度な内容です。まずは、基本問題のレベルをしっかり身につけましょう。

<算数 5年下 第4回 >

第4回は『平面図形と比(2)』です。まずは、合同と相似から学習します。2つの図形において、形も大きさも等しい図形を合同といいます。また、形は同じですが、大きさが異なる図形を相似といいます。どのような場合に、合同や相似となるのかという条件があり、これらの条件を、それぞれ合同条件、相似条件といいます。予習シリーズ37ページにある条件をおぼえておきましょう。

【攻略ポイント1】

「必修例題1」は、合同条件の利用と、合同な図形における角度を求める問題です。

  1. 三角形ABDと合同な三角形を見つける問題です。合同条件に合わせて、どの部分が等しいかを考えます。三角形ABCは正三角形ですから、AB=BC、角ABD=角BCE=60°です。また、問題文よりBD=CEです。よって、合同条件のうちの、2辺とその間の角がそれぞれ等しい、という条件にあてはまりますので、三角形ABDと合同な三角形は三角形BCEです。
  2. 合同な三角形では、対応する(重なる)辺の長さや対応する角の大きさは等しいですから、三角形ABDと三角形BCEにおいて、角BAD=角CBE=24°です。また、角ABE=60-24=36°です。三角形の外角の定理により、xは、角ABEと角BADの和ですから、36+24=60より、x=60°です。
【攻略ポイント2】

「必修例題2」は、縮尺の問題です。縮尺は地図などに使われます。実際の長さを地図などに表したものを縮図といいますが、この場合の小さくする割合を縮尺といいます。縮尺は、通常、分数を使用しますが、この分数の分子の数が地図上の長さ、分母の数が実際の長さを表して、地図上の長さを1として表示したものです。なお、メルマガでは、分数は分子/分母の形で表します。

  1. □/10km=1/50000です。10kmをcm単位に直しますと、10km=1000000cmですので、□=1000000÷50000=100÷5=20より、地図上の長さは、20cmです。
  2. 縮尺は、長さの割合です。よって、面積を考える場合は、長さにもどって考えるとわかりやすいです。2平方cmを、たて1cm、横2cmの長方形として考えます。地図上の1cmや2cmは、実際の長さでは、1×5000=5000cm=50m、2×5000=10000cm=100mです。よって、面積は50×100=5000平方mとなります。1a=100平方mですから、5000m=50aですので、地図上の2平方cmは、実際の面積は、50aです。

予習シリーズの解説では、長さが5000倍であれば面積は5000×5000倍になることから式を立てていますが、上記のように、地図上の面積から、自分で、地図上のたて×横を考え、このたて、横を実際の長さに直して、実際の面積計算をしても正解が求められます。

【攻略ポイント3】

相似な図形について、学習します。相似な図形において、対応する(重なる)辺の長さの比を相似比といいます。また、相似な図形の面積比は、相似比の数を2回ずつかけた数の比になります。予習シリーズ38ページの説明を参照してください。なお、相似な三角形は、平行線を利用して作られることがとても多くあります。代表的なものとして、ピラミッド型の相似、クロス型の相似があります。こちらも、予習シリーズ39ページの説明を参照してください。

「必修例題3」は、相似な三角形の辺の長さを求める問題です。

  1. ABとCDの平行より、三角形OABと三角形OCDは相似な三角形です。相似比は、AB:CD=6:9=2:3です。OB:ODも2:3で、OD=7.5cmですから、OB=7.5÷3×2=5より、x=5cmです。
  2. ABとCDが平行ですから、三角形OABと三角形OCDは相似な三角形で、相似比は、AB:CD=6:10=3:5です。OB:ODも3:5で、OB+OD=3+5=8が12cmですから、OD=12÷(3+5)×5=7.5より、x=7.5cmです。

「必修例題4」は、相似な三角形の面積比の問題です。

  1. BCとDEの平行より、三角形ADEと三角形ABCは相似な三角形です。相似比は、AE:AC=6:(6+4)=3:5です。よって、対応する辺である、DE:BCも同じ相似比になりますので、3:5です。
  2. 三角形ADEと三角形ABCの面積比は、相似比を2回ずつかけた、(3×3):(5×5)=9:25です。よって、四角形DBCEの面積は、25-9=16になります。したがって、三角形ADEと四角形DBCEの面積比は、9:16です。

「必修例題6」は、何組かの相似な三角形が入った図形の問題です。
 DEとBCの平行より、三角形ADEと三角形ABCは相似な三角形です。また、ABとEFの平行より、三角形ABCと三角形EFCも相似な三角形です。ここから三角形ABCを基準として、三角形ADEと三角形EFCも相似な三角形となります。

  1. (1) 四角形DBFEは平行四辺形になりますので、DB=EFです。よって、相似な三角形ADEとEFCの相似比は、AD:EF(=DB)=6:3=2:1です。したがって、対応する辺である、AEとECも相似比は等しく、AE:EC=2:1です。
  2. (2) 三角形ABCと三角形ADEと三角形EFCは相似な三角形で、相似比は、AB:AD:EF=(6+3):6:3=3:2:1です。よって、面積比は、(3×3):(2×2):(1×1)=9:4:1となります。四角形DBFEの面積は、9-(4+1)=4です。したがって、面積は三角形ABC=9、四角形DBFE=4ですので、4÷9=4/9です。

「必修例題7」も、何組かの相似な三角形が入った問題です。
正方形は、対辺が平行になっていますので、相似な三角形が何組かできます。どの相似な三角形を利用するかが重要となります。

  1. 辺CFを使っている三角形は、三角形FCEですので、この三角形FCEと相似な関係の三角形を見つけますと、ADとBFの平行により、三角形ADEが相似の関係にあります。よって、EC:ED=2:4=1:2が相似比になります。AD=6cmが比の2にあたりますので、6÷2×1=3より、CFの長さは3cmです。
  2. (1)より、AE:EF=2:1です。また、ABとDEの平行より、三角形ABGと三角形EDGは相似な三角形で、相似比は、AB:DE=6:4=3:2ですから、AG:GEも3:2です。このことから、AG=3、GE=2とすると、AE=3+2=5となり、AE:EF=2:1より、EF=5÷2×1=2.5となります。よって、AG:GE:EF=3:2:2.5=6:4:5です。

<算数 4年下 第3回 >

第3回は 『条件整理と推理』です。名前からわかるように、問題文から条件を整理して、考える問題です。整理の仕方(道具)には様々なものがありますので、ここでしっかりと学んでください。
※「○の中に数字」の表記が文字化けしてしまう可能性がありますので、マル1、マル2と表記させて頂きます。

【攻略ポイント1】

「必修例題1」は、2数ずつの数の大小がわかっている場合の、4数の大小を考える問題です。数の差が与えられた大小関係では、線分図を利用します。予習シリーズ23ページの解き方にある線分図を参考にしてください。
 条件マル1よりA=B+5、マル2よりC=B+3、ですから、大きい順にA、C、Bとなります。条件マル3より、CがDより7大きい場合(C=D+7)と、CがDより7小さい場合(D=C+7)の2通りを考えます。Aが最大である条件から、CがDより大きいことがわかります(D=C+7の場合、DがAより大きいことになるので)。よって答えは、大きい順に、A、C、B、Dとなります。

「必修例題2」は魔方陣とよばれる数の表の問題です。

  1. 1から9までの数の合計は45で、この45を、たてあるいは横に3組に分けますので、45÷3=15より、たて1列にならぶ3マスの数の和は、15です。
  2. (1)より、左たて1列において、マス目の左上の数は、15-(1+8)=6となります。また、右上がりのななめの列において、中央のマス目の数は、15-(2+8)=5となります。よって、右下がりのななめの列において、右下のマス目の数は、15-(6+5)=4より、アにあてはまる数は、4です。

「必修例題3」は、順位を考える問題です。予習シリーズ24ページの解き方にある順位表を参考にしてください。順位表では、条件に合わない部分に×をうめていくことからスタートして、空いたところに○、という順番が基本です。
 マル1より、Bは4位にはならずDは1位にはなりませんので、表のBの4位、Dの1位に×を入れます。マル2より、表のAの1位、4位に×を入れます。マル3より、表のCの1位、2位に×を入れます。ここで、表の1位は、Bだけが空欄ですから、ここに○が入ります。そして、表のBの2位、3位に×を入れます。そしてマル1より、Dが2位となり、Dの3位、4位が×に、またAの2位も×になります。このように進めていくと、表はすべてうまります。よって、1位はB、2位はD、3位はA、4位はCとなります。

「必修例題4」は、勝敗を考える問題です。予習シリーズ25ページの解き方にある勝敗表を参考にしてください。勝敗表では、対戦相手の勝ち負け(○×)を同時にうめていくことが基本です。

  1. 全試合数は、勝敗表のマス目で、○×でうまる部分の半分の数ですから、10試合です。
  2. 勝ち数の同じチームはなく、引き分けがありませんので、10=0+1+2+3+4より、勝ち数は、大きい順に4勝、3勝、2勝、1勝、0勝となることがポイントです(5チームが参加していますので、5勝はありえません)。また、勝敗表より、A、B、D、Eのチームは、少なくとも1敗はしていますので、4勝したのはCチームとわかります。同様に、A、B、C、Eのチームは、1勝はしていますので、0勝だったのはDチームでした。これらのことを考えて勝敗表をうめます。その結果、Eチームは、2勝2敗となりました。

「必修例題3」の順位表や、「必修例題4」の勝敗表は、自分で作れるようにトレーニングしておきましょう。

<算数 4年下 第4回 >

第4回は『円(1)』です。円についての用語や円の性質を学習します。予習シリーズ31ページの説明をしっかり理解して覚えましょう。その性質を利用して、円の中にかかれた三角形や正多角形の角度を求める問題を考えます。

【攻略ポイント1】

「必修例題1」は、円の半径と直径の関係から長さを求める問題です。

  1. ACは大きい円の直径です。半径が5cmですので、5×2=10より、AC=10cmです。
  2. AB=AC-BCです。BCは小さい円の直径で、半径が3cmですから、直径であるBC=3×2=6cmです。AC=10cmでしたから、10-6=4より、AB=4cmです。
【攻略ポイント2】

「必修例題2」は、円の中にある三角形の内角の1つの大きさを求める問題です。
円の半径は、すべて同じ長さですから、2つの半径を使った三角形OABはOA=OBの二等辺三角形です。よって、角OBA=角OAB=42°ですから、xの大きさは、三角形の内角の和である180°から、42°を2つ引いた大きさです。180-42×2=96より、x=96°です。

「必修例題3」も、円の中にある三角形の内角の1つの大きさを求める問題です。
 前例題と同様に、半径OAとOCを使った三角形OACは二等辺三角形です。よって、角OCA=角OAC=38°で、外角の定理により、角BOC=38×2=76°です。また、半径OBとOCを使った三角形OBCも二等辺三角形ですから、角OCB=角OBCです。したがって、三角形OBCの内角の和は、76+x×2=180°となります。よって、(180-76)÷2=52より、x=52°です。
 なお、予習シリーズ33ページにある、かこみの中の説明は、今後も利用できる内容ですので理解しておきましょう。結果的には、直径を1辺として、円の内側に接した三角形を作ると、直径に向かい合っている角の大きさは、必ず直角(90°)になります。この性質を利用して、改めて必修例題3を解きます。角ACB=90°ですから、三角形ABCの内角の和は、38+90+x=180°より、x=180-(38+90)=52°と求められます。

「必修例題4」は、円の中にある正多角形に関する問題です。正多角形とは辺の長さやそれぞれの内角の大きさがすべて等しい図形をいいます。
 円周を5等分する点と、円の中心を結ぶ半径によって、中心のまわりの角360°は、5等分されます。xは、その2つ分です。360÷5×2=144より、x=144°です。
 OとCを結ぶ半径をひきます。三角形OAC、OAB、OBCは、すべて二等辺三角形です。そして、角AOCは角AOBと等しく、350÷5×2=144°、角BOC=350÷5×1=72°です。これより、三角形OACの内角の1つである角OCAは、(180-144)÷2=18°、三角形OBCの内角の1つである角OCBは、(180-72)÷2=54°です。y=角OCA+角OCBですから、18+54=72より、y=72°です。

円の内部の角度を考える場合、半径が等しいことを利用して、二等辺三角形や正三角形を考えると、解ける問題が多いです。半径の利用を心しておきましょう。

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