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2018.5.30配信
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予想問題付き!サピックス5年生6月13日(水)マンスリーテスト算数攻略ポイント

今回は、5年生6月度マンスリーテスト対策をお伝えします。また、攻略ポイントだけでなく予想問題付きです。過去問を分析し最も出題される可能性が高い問題を揃えてあります。解説も準備しますので、間違えた箇所はとくに読み込んで本番で同じ間違いをしないように注意してください。問題は6/6(水)のお昼ごろ 鉄人会のHPにアップ致します。アップが完了しましたら、メルマガ、フェイスブック、ツイッターでもお知らせ致しますので、ぜひ鉄人会のフェイスブック、ツイッターもフォローしてください!

予想問題をアップするページはこちらです。ぜひ、ブックマークをしておいてください!

今回の範囲は、「ダイヤグラム」「06〜09の復習」「点の移動(1)」「点の移動(2)」「量の変化(1)」となることが予想されます。「06〜09の復習」は前回4月のマンスリーテストの範囲と重複しますので、ぜひ4月12日配信の『4月マンスリーテスト攻略ポイント』も、読み直されてください。
 それでは、単元ごとに説明をして行きます。なお、分数の表記は「4分の1=1/4」のかたちとします。

【攻略ポイント1 ダイヤグラム】

速さに関して、時刻と位置の関係を表すダイヤグラムは、速さの問題の条件を整理するうえで、とても有効な武器となるのですが、扱い方を苦手としている生徒さんが多く見られます。

まずはダイヤグラムの基本的な性質を理解することから始めましょう。ポイントは、速さがグラフの傾きで表されること、速さの大小は、傾きの勾配(急か、なだらかか)で表されることです。
 メルマガでは図やグラフが書けませんので、以下の手順で、できましたらお子さんと一緒にダイヤグラムを作ってみてください。実際に作ることで、ダイヤグラムの性質がよりわかりやすくなります。
 まずグラフの縦軸を距離(単位はm)、横軸を時間(単位は分)とします。グラフの横軸が30分、縦軸が600mのところをA点として、原点とA点を直線で結びます。次に横軸が50分、縦軸が800mのところをB点として、A点とB点を直線で結びます。これで図は完成です。
 とてもシンプルなダイヤグラムですが、この中にポイントがしっかりと含まれています。ここでお子さんに、以下の問いかけをしてみてください。
「原点からA点までは分速何mになっている?それから、A点からB点は分速何mになっている?」
 ダイヤグラムから速さを求める時でも、速さ=距離÷時間の公式を使うことに変わりはありません。原点からA点までの距離は600m、時間は30分ですので、速さは600÷30=20より、分速20mとなります。
 おそらくここまでは問題なく解けるお子さんが多いと思われます。問題はA点からB点のように、起点が原点でない場合です。ついB点を表す距離の800mと時間の50分を使って、800÷50=16と計算してしまうことがあります。これでは、原点からB点まで直接進んだ際の速さを求めることになってしまいます。あくまでも求める速さの範囲にあたる距離と時間を使いますので、ここでは距離は800−600=200(m)、時間は50−30=20(分)ですので、速さは200÷20=10より分速10mとなります。
 まずは、速さを求める際に、距離と時間はどの範囲を見ればよいのか、徹底的に注意してください。また、今回のダイヤグラムで、原点とA点を結ぶ直線の傾きと、A点とB点を結ぶ直線の傾きを比べてみると、原点とA点を結ぶ直線の方が急になっています。このことから、速さの値が大きい時には、傾きが急になることもわかります。実際にダイヤグラムを自分で作ってみると、傾きと速さの関係がより明確に理解できますので、ぜひ試してみてください。

基本を踏まえて、さらに次のような問題にチャレンジしてみましょう。

春子さんは10時ちょうどに家を出発し、4.8km離れた駅まで歩きました。途中、郵便局に9分間立ち寄り、その後は分速70mで48分間進んだところ、11時12分に駅に着きました。このとき、以下の問いに答えなさい。

  1. 春子さんが家から郵便局まで進むときの速さは分速何mですか。
  2. 夏子さんは10時3分に自転車で駅から春子さんの家に向かって出発します。このとき、郵便局にいる春子さんと出会うためには、夏子さんは分速何m以上、何m以下で進めばよいですか。
 

まずは、ダイヤグラムで、春子さんの動きを整理してみましょう。
 縦軸に距離(単位はkm)、横軸に時刻とします。横軸を時間にしてもよいのですが、問題が時刻ベースで書かれていますので、そのまま時刻を使うことにします。原点のところに距離の0(ゼロ)、時刻の10:00を両方かき込みます。次に春子さんが郵便局に着いた時点ですが、この時刻や距離がわかっていません。そこで適当な傾きで原点から、適当な地点まで直線を伸ばします。その地点から、縦軸、横軸に垂直な点線を引いておきましょう。
 ここから9分間は春子さんが郵便局に立ち寄っていますので、距離は増えずに、時間だけが過ぎて行きます。よって横軸に平行な直線をある程度の長さまで伸ばします。このように、動きが止まって時間が過ぎて行く場合には、横軸に平行な直線になることも確認しておきましょう。
 最後に分速70mで駅まで進みますので、横軸に平行な直線の端から、横軸が11:12、縦軸が4.8kmのところまで斜めに直線を伸ばします。これで春子さんの動きがまとめられました。
 まず(1)の、家から郵便局までの春子さんの速さですが、グラフの原点から郵便局を表す地点までの直線の傾きを求めることになります。ただし、現段階では、距離も時間もわかっていません。そこで問題文を見てみると、春子さんが郵便局から駅まで、「分速70mで48分間進んだ」とありますので、ここから郵便局から駅までの時間と距離が求められます。
家から駅までは距離にして4.8km、郵便局で使った9分間を除けば、時間にして、11:12−10:00−00:09=01:03(1時間3分=63分)であることがわかっています。
 そこで、郵便局から駅まで春子さんが進むのに、距離にして70×48=3360(m)、時間にして48分であることより、家から郵便局までが、距離にして4800−3360=1440(m)、時間にして63−48=15(分)であることがわかりますので、1440÷15=96より、春子さんの家から郵便局まで進むときの速さが、分速96mと求められます。
 このように、ダイヤグラムでわかっていない数値も、問題文にそのヒントが表されていることが多くありますので、気をけるようにしましょう。

次の(2)こそが、ダイヤグラムを使う効果が非常に高くなる問題です。夏子さんは10:03に駅から春子さんの家に向かったので、そのままをグラフにかき込みます。横軸は原点の10:00より少し進んだ時点、縦軸は駅からですから4.8kmの地点が、夏子さんのスタートポイントになります。
 ここから夏子さんは春子さんとは逆方向に進みますので、直線も上から下に伸びることになります。夏子さんが、郵便局にいる春子さんと出会うためには、夏子さんの動きを表す直線はどのようになればよいでしょうか。2人が出会うということは、2本の直線が交わればよいことになります。春子さんの動きを表すダイヤグラムで、横軸に平行な直線になった9分間の部分、そこに夏子さんの動きを表す直線が交わればよいので、その通りにグラフに直線をかき込みます。
 夏子さんのスタートポイントは一定として、横軸に平行な直線の両端と結ばれるように2本の直線を引きます。この2本の直線で表される速さの幅が答えとなります。
 計算を進めるために、(1)で求められた数値をグラフにかき込んで行きましょう。まずは春子さんが郵便局に着いた時刻は、10:00の15分後ですので、10:15です。そこから9分後の10:24に、春子さんが郵便局を出発したことになります。これで時刻はうめられました。
 次に距離ですが、(2)で使うのは、駅から郵便局までの距離ですので、3360mとわかるように、グラフの縦軸にかき込みます。
 あとは計算です。2本の直線のうち、急な方で表される速さは、距離が3360m、時間は10:15−10:03より12分ですので、3360÷12=280より分速280mです。よりなだらかな直線の方で表される速さは、時間が10:24−10:03=21(12+9=21でも構いません)より21分ですので、3360÷21=160より分速160mとなります。
 よって答えは、分速160m以上、280m以下、と求めることができます。

今回の問題のうち(2)については、ダイヤグラムを使う方法以外では、時間がかかり過ぎてしまい、間違いも多く起こってしまいます。6年生になってもダイヤグラムを使う問題は多く出されますので、有効な武器としてのダイヤグラムについて、しっかり理解を固めておきましょう。

【攻略ポイント2 点の移動(1)】

人物や物が移動する、という点では速さの問題になりますが、そこに図形の考え方が混在してくるのが、この単元です。
 まずは、1つの点が平面図形の辺上を動くタイプの問題です。 次のような問題はどのように対応すればよいでしょうか。メルマガでは図を表せませんので、まずは説明にそって図をかいてみてください。  三角形ABCは角Bが90度の直角三角形で、辺ABの長さが24cm、辺BCの長さが32cm、直角の向にある辺CAの長さが40cmです。  ここから問題になります。

この直角三角形ABCの辺上を、点Pが頂点Bを出発して、B→C→Aの順に秒速4cmで移動します。次の(1)(2)の問題に答えなさい。

  1. 点Pが出発してから12秒後の三角形ABPの面積は何平方cmですか。
  2. 三角形ABPの面積が、2回目に三角形ABCの面積の1/4になるのは、点Pが出発してから何秒後ですか。

(1)のタイプの問題では、点の位置を確実に把握することが大前提となります。
点Pは秒速4cmですので、出発してから12秒後までに、4×12=48(cm)を進みます。B→Cで32cmありますので、点Pは48−32=16より、C→Aに16cm進んだ地点に到達します。その地点を図にかき込み、点と頂点Bを結ぶことで三角形ABPが出来上がります。
 ここで三角形ABPの面積を求めるにあたり、視点の切り替えが必要になります。つまり、三角形ABPのどの辺を底辺とすればよいか、というポイントです。既存の図形で底の位置にある辺BCが底辺で、その辺BCと垂直の関係にある辺ABを高さとして、この2辺の関係にのみ執着してしまうと、三角形ABPの面積を求めることはできなくなります。ここではAPを底辺として考えます。三角形ABPを辺CAが底になるように回転してみてもよいでしょう。三角形ABCと三角形ABPは、CAとAPをそれぞれの底辺とすれば、高さは共通しています。よって面積の比は、底辺の長さの比と同じになるのです。CA=40cm、AP=40−16=24(cm)であることから、三角形ABPの面積は、三角形ABCの面積の24/40=3/5となります。よって、32×24÷2×3/5=230.4より、230.4平方cmと求められます。
 お子さんが問題用紙を回すという行為は、正しく底辺を見つけようとしている可能性があります。そうした行為はぜひ大事にしてください。

(2)のタイプの問題では、点の移動をより確実に把握する必要があります。基本となるのは、(1)でも出てきた「高さが等しい三角形の面積比は、底辺の長さの比と等しい」という考え方です。
 三角形ABPの面積が1回目に三角形ABCの面積の1/4になるのは、辺BC上でBPの長さが辺BCの長さの1/4になる時点です。そこから点Pが頂点Cに向かう間は三角形ABPの面積は増加して行き、点Cを通過して、辺CA上を点Pが頂点Aに向かう区間では、面積は減少して行きます。よって、2回目に三角形ABPの面積が三角形ABCの面積の1/4になるのは、点Pが頂点Cを通過して頂点Aに到達する前に、APの長さが辺CAの長さの1/4になる時点です。
 こうした点の動きと面積の増減の動きの関係は、今回のテストのポイントのひとつとなりますので、テキストをよく見直すようにしてください。
 求める地点は、点Pが辺BCの40cmと、辺CAの長さの3/4を動いたところですので、32+40×3/4=62(cm)を動いた地点となります。62÷4=15.5より、求める答えは15.5秒後となります。

点の移動では、底辺をまず直線としての点の動きと、面積の増減の関係をおさえることが必須となりますので、その点に気をつけて見直しを進めてください。

【攻略ポイント3 点の移動(2)】

ここでは、2つの点が図形の辺上を動くタイプの問題を取り上げます。

例題を挙げますので、まずは、図をかいてみてください。
長方形ABCDで、辺ABの長さは24cm、辺BCの長さは30cmです。この長方形の辺上を点Pと点Qが動きます。
ここから問題になります。

頂点Aから点PがA→D→C→B…の向きに、頂点Cから点QがC→D→A→B…の向きに、同時に出発して、長方形の辺上を周り続けます。点Pの速さは秒速5cm、点Qの速さは秒速4cmです。このとき、2点が26回目に出会うのは出発してから何秒後ですか。

26回目と見ると、気が遠くなるような作業を思い浮かべてしまうかもしれませんが、決して複雑な問題ではありません。  長方形の辺上を点が動く問題ですが、中身は池の周りを2人が周る旅人算と同じ考え方です。方針として、まず1回目に2点が出会う時間を求めます。1回目に出会ってから2回目に出会うまでの時間がわかれば、2回目から3回目、さらにそれ以降はその時間を繰り返すことになります。つまり、規則性の問題として解くことができるのです。

まず1回目に出会う時間は、(24+30)÷(5+4)=6より、6秒後です。1回目に出会ってから2回目に出会うまでの時間は、お互いの進む距離を合わせると長方形の1周分になるので、(24+30)×2÷9=12より12秒後となります。ここからは、12+12=24、24+12=36、と12秒ずつ数字が増えて行くことになります。よって、26回目までは、数字が26−1=25(回)増えますので、出発してから、6+12×(26−1)=306(秒後)が26回目に2点が出会う時間となります。

このように、点の動きを正確に理解できれば、一見難しそうな問題でも、速さや規則性の基本的な考え方を使って解くことができるのです。問題演習を重ねて、慣れることで、難しそうに見える問題への抵抗を失くして行きましょう。

【攻略ポイント4 量の変化(1)】

この単元も速さの応用になりますが、点の移動が平面図形に関連するものであるのに対し、この単元は、体積、容積といった立体図形との関連になります。

まずは、体積、容積の単位については、改めて確実に固めておきましょう。
 テスト前半の小問集合のところで、「0.45立方mは何リットルですか。」といったかたちで聞かれることがあります。大事な1問ですので、取りこぼしがないようにしなければなりません。単位換算の方法をしっかり暗記しておくことが第一ですが、より間違いが起こらないように、問題用紙の空白のところに、「1立方cm…1000倍→1リットル…1000倍→1立方m=1キロリットル」など、自分でわかりやすいように、メモを記しておくとよいでしょう。上記の問題は、0.45立方m=0.45×1000=450(リットル)となります。全体正答率も高くなる可能性のある問題ですので、確実な得点を目指しましょう。

次のような問題にはどのように対応すればよいでしょうか。
 図について先に説明します。2つの直方体の容器A、Bがあります。容器Aは内のりの長さが、底辺のたて、横がともに8cmで、深さ15cmまで水が入っています。容器Bは内のりの長さが、底辺のたて、横がともに6cmで、深さ10cmまで水が入っています。
 ここから問題になります。

2つの容器A、Bの水を移しかえて水の深さを同じにするとき、水の深さは何cmになりますか。

ここでは2つの解き方をご紹介します。
 1つ目は、全体の水の体積を求めてしまう方法です。水を移しかえるということは、水の量は変化していません。その体積を、2つの容器の底面積の合計で割ることで、求める高さになります。容器を2つつなげて、新しい大きな容器が1つできたと考えるとよいでしょう。
 8×8×15+6×6×10=1320(立方cm)が水の体積の合計です。それを底面積の和で割りますので、1320÷(8×8+6×6)=13.2(cm)が求める答えです。
 考え方はシンプルですが、計算の結果が大きな数値になるので、計算間違いがないように気をつける必要があります。この問題では底面積の和がちょうど100でしたが、すべての問題でこのように計算がやりやすいとは限りません。

そこでもう1つの解法をご紹介します。同じ面積の長方形では、たての長さの比と横の長さの比が逆になる考え方(面積図)を使った解き方です。
 まず、容器A、Bを横につなげた状態で、それを真正面から見た図(断面図)をかきます。
容器A、Bとも容器の高さは与えられていませんので、適当な長さで2つとも同じ高さにしてしまいましょう。左を容器Aの断面図、右を容器Bの断面図とします。左の断面図では深さ15cmまで水が入っていますので、底辺と平行に線を入れ、そこに15と記します。
 同様に右の断面図に底辺に平行な線を入れて10と記します。そして同じ深さになる高さの部分に、左右の断面図を横断するかたちで線を入れます。この高さが求める長さなので、どのあたりに線を入れればよいのかが、わからないかと思いますので、15と10の真ん中より少し上に入れておいてください。
 この面積図の仕組みなのですが、まず断面で容器内に表される長方形は水の体積を表します。容器Aの断面図ではたてが15ですので、底辺部分は容器の面積である8×8=64という数値をかき入れます。同様に、容器Bの断面図ではたてが10ですので、底辺部分には6×6=36という数値をかき入れます。これで、この断面図で水の体積を表すことができました。
 ここから水の移しかえを考えて行きます。まず、作図の際に最後に入れた横の線(以下、横断線とします)によって、容器A、Bの断面図それぞれに小さな長方形ができました。容器Aでは、15の高さの水面の線と横断線にはさまれた部分、容器Bでは横断線と10の高さの水面の線にはさまれた部分の長方形です。容器Aから容器Bに水を移しかえた結果、2つの容器の水の深さが横断線の高さにそろったので、2つの長方形の面積が同じとなります。このことがわかりやすいように、2つの長方形に同じく斜線を入れるとよいでしょう。
 容器Aの小さな長方形の横の長さは64、容器Bの小さな長方形の横の長さは36でした。64:36の長さの比を簡単にすると、16:9となります。面積が同じで横の長さの比が16:9なのですから、たての長さの比は逆に9:16となります。2つの長方形のたての長さの和は、15−10=5ですので、容器Bの小さな長方形のたての長さは、5÷(9+16)×16=3.2となります。よって水の深さは10+3.2=13.2より13.2cmと求められるのです。
 面積図の説明が長くなりましたが、解き方自体は複雑ではなく、何より計算がより簡単になるメリットがあります。逆比のところの理解が少し難しいかもしれませんが、ぜひ試して頂きたい解法です。

われわれ中学受験鉄人会のプロ家庭教師は、常に100%合格を胸に日々研鑽しております。ぜひ、大切なお子さんの合格の為にプロ家庭教師をご指名ください。


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